Juego topólogico con alambre

EL PROBLEMA DE LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG

El problema es simplemente encontrar un trayecto, alrededor de una serie de puentes, que cruce solamente una vez cada uno de ellos. El mapa de abajo muestra la disposición de siete puentes y dos islas en la ciudad de Königsberg.

En 1736, el matemático suizo radicado en San Petersburgo Leonhard Euler publicó "Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis", un artículo en el que resolvía el problema en el caso general. Este trabajo es considerado como el nacimiento de la Teoría de Graficos, utilizada hoy en día en una multiplicidad de aplicaciones, y también uno de las primeras apariciones de una «nueva geometría» en la que importan sólo las propiedades estructurales de un objeto y no sus medidas. A esto se refieren las palabras «geometriam situs» en el título de Euler, palabras que hoy se traduce como topología.

La topología es una de las ramas más nuevas de las matemáticas. Una manera simple de describirla es aquella en la cual se señala que su orientación se centra en el estudio de ciertas propiedades de las figuras geométricas. El término topología fue usado por primera vez en 1930 por el matemático Solomon Lefschetz. Generalmente ha sido clasificada dentro de la geometría, se la llama a menudo geometría de la goma elástica, de la lámina elástica o del espacio elástico, pues se preocupa de aquellas propiedades de las figuras geométricas del espacio que no varían cuando el espacio se dobla, da la vuelta, estira o deforma de alguna manera. Las dos únicas excepciones son que el espacio no se puede romper creando una discontinuidad y que dos puntos distintos no se pueden hacer coincidir. La geometría se ocupa de propiedades como la posición o distancia absoluta y de las rectas paralelas, mientras que la topología sólo se ocupa de propiedades como la posición relativa y la forma general.

El estudio de los fundamentos de la topología no es a menudo parte de los programas de estudios de las matemáticas en las escuelas de enseñanza secundaria y, por ello, para muchos suena como el conocimiento de algo intimidante y extraño. Sin embargo, hay algunas ideas de las bases de la topología fácilmente captables e interesantes, aplicables a muchas situaciones, incluidas algunas de diversión. Una de estas áreas es la topología de redes de trayectorias de circulación, que fue desarrollada por Euler en 1735, y que es el tema central de este trabajo.

La idea de Euler fue considerar los cuatro lugares terrestres, que se deseaban comunicar (hay 4 de ellos), como puntos de destino y, a los famosos puentes, como trayectorias entre esos puntos. En consecuencia, el mapa de Königsberg –en esencia matemática– puede ser entonces reducido al siguiente diagrama, que es un ejemplo de lo que se suele llamar un gráfico:

Un gráfico, es una figura cuyas líneas o curvas (llamadas márgenes), conectan puntos o vértices. En consecuencia, la trayectoria de los puentes de Königsberg puede ser reformulada como un gráfico, en el cual los márgenes son remontados una sola vez.

Para cada uno de los vértices del gráfico, el orden de los números de cada uno de ellos corresponde al margen que le concierne. La figura de abajo muestra el gráfico del problema de los puente de Königsberg, con el orden de los números de los vértices.

, trató de resolver el problema de la trayectoria de los puentes de Königsberg, graficando la sustitución de áreas terrestres por vértices y los puentes por arcos (márgenes). En la figura de abajo, los puntos rojos representan las áreas terrestres de Königsberg y las curvas negras los puentes. Este problema, por supuesto que puede ser resuelto mediante un estudio exhaustivo de todas las posibles trayectorias. Pero las matemáticas se interesan en generalizar el problema y buscar una solución sencilla y válida para todos los posibles mapas de ciudades, e incluso objetos más generales.

En función de la ubicación de cada uno de los vértices y de los márgenes que los conectan, Euler no pudo entregar una solución al problema de la trayectoria de los puentes de Königsberg. Solamente podría haber una solución si los vértices pudiesen ser conectados con márgenes pares, ya que ello implicaría entrar y salir a través de los mismos por los cuales se llega. Alternativamente, dos vértices pueden estar conectadas por un número impar de márgenes y, éstos, serían el comienzo y el final de la trayectoria.

La primera observación que salta del párrafo anterior, es que el problema se puede reformular como sigue. El gráfico de la derecha tiene cuatro vértices y siete márgenes; ahora bien, ¿es posible recorrerlo entero sin pasar dos veces por el mismo margen? En el gráfico, los cuatro vértices (los puntos rojos del dibujo) representan las cuatro partes en que los ríos separan a la ciudad, y los siete márgenes (las líneas que unen los vértices) representan los puentes. En términos más familiares para los aficionados a los pasatiempos: ¿es posible realizar el dibujo del gráfico sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por el mismo margen? (Se permite pasar dos veces por el mismo vértice).

La respuesta de Euler es considerablemente simple. Supongamos que, efectivamente, es posible realizar el dibujo sin levantar el lápiz del papel. Al realizar el dibujo, en cada vértice intermedio que atravesemos entraremos por un margen y saldremos por otro. En particular, el número de márgenes que convergen con cada vértice del gráfico, exceptuando quizás los vértices inicial y final del dibujo, ha de ser par. Si llamamos «valencia» de cada vértice al número de márgenes que convergen en él, lo dicho anteriormente significa que para que el problema tenga solución es necesario que en el gráfico haya como mucho dos vértices de valencia impar. En el caso del gráfico de Königsberg los cuatro vértices tienen valencia impar, así que el problema no tiene solución.

Demostrar que esa condición precedente es no sólo necesaria, sino también suficiente, no es difícil. Si a ello, agregamos el hecho de que en todo gráfico el número de márgenes con valencia impar es par (porque al sumar las valencias de todos los vértices estaremos contando dos veces cada margen) se llega a la conclusión de los gráficos que se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por el mismo margen:

• Si un gráfico no tiene vértices de valencia impar, entonces se puede dibujar. Además, se puede dibujar empezando desde cualquier vértice y el dibujo será «cerrado» en el sentido de que termina en el mismo vértice en el que se empezó. A estos gráficos se les llama eulerianos.
• Si un gráfico tiene exactamente dos vértices de valencia impar, entonces se puede dibujar, pero siempre será necesario comenzar en uno de ellos y terminar en el otro.
• Si un gráfico tiene cuatro o más vértices de valencia impar, entonces hasta ahí se llega, ya que no se puede dibujar.

 

Cómo pasar una moneda grande a través de un agujero más pequeño?

Materiales:

• Una moneda grande
• Una moneda pequeña
• Un marcador
• Un par de tijeras
• Un cuadrado de papel de 10cm x10cm

Procedimiento:


Colocar la moneda pequeña en el centro del papel y trazar un círculo a su alrededor
Recorta el círculo (es más fácil doblando el papel por la mitad exacta del círculo que dibujaste).

Ahora el truco es pasar la moneda grande a través del agujero de la pequeña sin rasgar el papel. ¿Es esto posible?
Para lograrlo necesitamos apoyarnos en la ciencia de la topología (ver más abajo de qué se trata). Necesitamos cambiar la forma del agujero, para lograrlo doblamos el papel por la mitad, por el centro del círculo.

Sostén el papel con el doblez en la parte de abajo y coloca la moneda en el agujero. Como puedes ver, ésta todavía no puede pasar.

Agarra el papel por las esquinas y hálalo hacia el centro, esto causa que el papel se doble y que el agujero es estire alrededor de la moneda, dejándola caer.

Si tratáramos de hacer lo mismo con una canica no funcionaría. La moneda es más grande pero más delgada que el agujero, lo que permite que éste se adapte a ella. La canica es más ancha en ambas direcciones, lo cual no permite que el agujero se adapte a ella.

La topología es una ciencia matemática que estudia las superficies, se la llama también “Geometría de la página de goma”. En la topología dos objetos son equivalentes aunque tengan diferente forma Es decir, los objetos se pueden doblar, estirar, encoger, retorcer, etc., pero siempre y cuando se haga sin romper ni separar lo que estaba unido, ni pegar lo que estaba separado.

Proyecto para niños: La banda de Möbius

Esto es un ejemplo práctico de cómo hacer fácil lo difícil, y así conseguir que la topología despierte el interés hasta en los más jóvenes.


La banda de Möbius es una cinta de papel en forma de círculo, pero que tiene un sola superficie.
Materiales:
Una hoja de papel
Tijeras
Cinta adhesiva


Procedimiento:

Cortar la hoja en varias cintas de papel y unirlas formando dos cintas del mismo tamaño, es importante colocarle cinta adhesiva a ambos lados del papel para que las podamos formar en círculos y no se quiebre el papel.

Con la primera cinta formamos un círculo normal uniendo las dos puntas del papel con cinta, con la otra banda de papel giramos una de los extremos y los unimos como se ve en la fotografía.

Con un rotulador o un lápiz trazamos una línea por dentro de los dos círculos hasta llegar al punto donde comenzamos.
Ahora podemos ver que algo curioso ha sucedido: en el círculo normal, la línea fue más rápida de dibujar y quedó sólo en el centro del círculo, pero en la cinta de Möbius (la del papel girado), nos tomó el doble del tiempo el trazarla, y cuando observamos el papel, vemos que éste está dibujado en ambos lados.

Nuevamente tomamos las tijeras y cortamos el primer círculo por la línea, ahora tenemos lo que esperábamos: dos círculos de papel.

Repetimos la operación en el círculo de Möbius, y ¿qué sucede? ¡Sorpresa! ¡Ahora tenemos un sólo círculo mucho más grande!
La cinta o banda de Möbius, se llama así por el científico Ferdinad Möbius quien la presentó ante la comunidad científica en 1858.

Teorema de los cuatro colores.

En teoría de grafos, el teorema de cuatro colores es un teorema sobre la coloración de grafos que establece lo siguiente:

“Dado cualquier mapa geográfico con regiones continuas, éste puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes (es decir, regiones que compartan no sólo un punto, sino todo un segmento de borde en común) con el mismo color.”

No es posible colorear cualquier mapa en estas condiciones utilizando sólo tres colores. En cambio, sí es posible hacerlo considerando cinco colores.El problema de los cuatro colores fue planteado por primera vez por Francis Guthrie en 1852 y resuelto positivamente en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken.

La Topología...

En topología, dos objetos son equivalentes en un sentido mucho más amplio. Han de tener el mismo número de trozos, huecos, intersecciones, etc. En topología está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer, etc., los objetos, pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido, ni pegar lo que estaba separado. Por ejemplo, un triángulo es topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habría que partirla (o pegarla) por algún punto.

Como crear el efecto Möbius